Este algoritmo describe cómo calcular la raíz cuadrada de un número utilizando el método de aproximaciones sucesivas (método de Newton-Raphson). Este método es iterativo y converge a la raíz cuadrada con precisión creciente en cada iteración.
**Entrada:** Un número real no negativo `n`.
**Salida:** Una aproximación de la raíz cuadrada de `n`.
## Pasos del Algoritmo:
1. **Inicialización:**
* Elegir una aproximación inicial `x₀`. Una buena aproximación inicial puede ser `x₀ = n/2` o `x₀ = 1`. La elección afecta la velocidad de convergencia, pero no la precisión final.
2. **Iteración:** Repetir los pasos 3 y 4 hasta alcanzar la precisión deseada. La precisión se controla mediante un criterio de parada, por ejemplo:
* Un número máximo de iteraciones.
* Una tolerancia `ε` (épsilon) tal que `|xᵢ₊₁ – xᵢ| < ε`, donde `xᵢ` es la aproximación en la iteración `i` y `xᵢ₊₁` es la aproximación en la iteración `i+1`.
3. **Cálculo de la siguiente aproximación:** Calcular la siguiente aproximación `xᵢ₊₁` utilizando la fórmula de Newton-Raphson:
```
xᵢ₊₁ = 0.5 * (xᵢ + n/xᵢ)
```
4. **Verificación del criterio de parada:**
* Si se cumple el criterio de parada (se alcanza el número máximo de iteraciones o la diferencia entre aproximaciones consecutivas es menor que la tolerancia `ε`), ir al paso 5.
* Si no se cumple el criterio de parada, asignar `xᵢ₊₁` a `xᵢ` (`xᵢ = xᵢ₊₁`) y volver al paso 3.
5. **Salida:** La aproximación final `xᵢ` es la raíz cuadrada aproximada de `n`.
## Ejemplo: Calcular la raíz cuadrada de 9 con una tolerancia de 0.001
1. **Inicialización:** `n = 9`, `x₀ = 9/2 = 4.5`, `ε = 0.001`
2. **Iteración 1:**
* `x₁ = 0.5 * (4.5 + 9/4.5) = 3.2`
* `|x₁ - x₀| = |3.2 - 4.5| = 1.3 > ε`
3. **Iteración 2:**
* `x₂ = 0.5 * (3.2 + 9/3.2) ≈ 3.023`
* `|x₂ – x₁| = |3.023 – 3.2| ≈ 0.177 > ε`
4. **Iteración 3:**
* `x₃ = 0.5 * (3.023 + 9/3.023) ≈ 3.0004`
* `|x₃ – x₂| = |3.0004 – 3.023| ≈ 0.0226 > ε`
5. **Iteración 4:**
* `x₄ = 0.5 * (3.0004 + 9/3.0004) ≈ 3.000000`
* `|x₄ – x₃| < ε` (El criterio de parada se cumple)
6. **Salida:** La raíz cuadrada aproximada de 9 es 3.000000 (con la precisión especificada).
**Nota:** Este algoritmo proporciona una aproximación. La precisión depende del número de iteraciones y la tolerancia elegida. Para números muy grandes o muy pequeños, se pueden requerir ajustes en la aproximación inicial o en el criterio de parada para asegurar una convergencia eficiente.